\subsection{等腰三角形的判定}\label{subsec:czjh1-3-9}

我们已经知道，等腰三角形有两个角（底角）相等，现在来证明有两个角相等的三角形一定是等腰三角形。

\begin{dingli}[等腰三角形的判定定理]
    如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
\end{dingli} （简写成 “\zhongdian{等角对等边}”。）

\begin{wrapfigure}[8]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch3-35}
    \caption{}\label{fig:czjh1-3-35}
\end{wrapfigure}

已知： $\triangle ABC$ 中，$\angle B = \angle C$ （图 \ref{fig:czjh1-3-35}）。

求证： $AB = AC$。

\zhengming 作 $\angle BAC$ 的平分线 $AD$。

在 $\triangle BAD$ 和 $\triangle CAD$ 中，

\hspace{2em} $\begin{cases}
    \angle 1 = \angle 2 \quad \text{（角平分线的定义），} \\
    \angle B = \angle C \quad \text{（已知），} \\
    AD = AD \quad \text{（公共边），} \\
\end{cases}$

$\therefore$ \quad $\triangle BAD \quandeng \triangle CAD$ （$AAS$）。

$\therefore$ \quad $AB = AC$ （全等三角形的对应边相等）。

\begin{tuilun}[推论 1]
    三个角都相等的三角形是等边三角形。
\end{tuilun}

\begin{tuilun}[推论 2]
    有一个角等于 $60^\circ$ 的等腰三角形是等边三角形。
\end{tuilun}


\begin{wrapfigure}[8]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch3-36}
    \caption{}\label{fig:czjh1-3-36}
\end{wrapfigure}


\liti 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。

已知： $\angle 1 = \angle 2$， $AD \pingxing BC$ （图 \ref{fig:czjh1-3-36}）。

求证： $AB = AC$。

分析：要证明 $AB = AC$，可先证明 $\angle B = \angle C$。 因为已知 $\angle 1 = \angle 2$,
所以可以设法找出 $\angle B$、 $\angle C$ 与 $\angle 1$、 $\angle 2$ 的关系。

\zhengming $\because$ \quad $AD \pingxing BC$ （已知），

$\therefore$ \quad \begin{zmtblr}[t]{}
    $\angle 1 = \angle B$ （两直线平行，同位角相等）， \\
    $\angle 2 = \angle C$ （两直线平行，内错角相等）。 \\
\end{zmtblr}

$\because$ \quad $\angle 1 = \angle 2$ （已知）

$\therefore$ \quad $\angle B = \angle C$ （等量代换）。

$\therefore$ \quad $AB = AC$ （等角对等边）。



% \begin{wrapfigure}[8]{r}{5cm}
%     \centering
%     \input{../pic/czjh1-ch3-37}
%     \caption{}\label{fig:czjh1-3-37}
% \end{wrapfigure}

\liti 上午 8 时，一条船从 $A$ 处出发以每小时 15 海里的速度向正北航行， 10 时到达 $B$处。
从 $A$、$B$ 望灯塔 $C$， 测得 $\angle NAC = 42^\circ$， $\angle NBC = 84^\circ$。
求从 $B$ 处到灯塔 $C$ 的距离（图 \ref{fig:czjh1-3-37}）。

\jie $\because$ \quad $\angle NBC = \angle A + \angle C$ （三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和），

$\therefore$ \quad $\angle C = 84^\circ - 42^\circ = 42^\circ$。

$\therefore$ \quad  $BA = BC$ （等角对等边）。

$\because$ \quad $AB = 15 \times (10 - 8) = 30$，

$\therefore$ \quad $BC = 30 \text{(海里)}$。

答 \quad $B$ 到灯塔的距离是30 海里。


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-37}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-37}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-38}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-38}
    \end{minipage}
\end{figure}

% \begin{wrapfigure}[8]{r}{5cm}
%     \centering
%     \input{../pic/czjh1-ch3-38}
%     \caption{}\label{fig:czjh1-3-38}
% \end{wrapfigure}

\liti \begin{xingzhi}
    在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大
\end{xingzhi} （简写成 “\zhongdian{大角对大边}”）。

已知： $\triangle ABC$ 中， $\angle ACB > \angle B$ （图 \ref{fig:czjh1-3-38}）。

求证： $AB > AC$。

\zhengming 在较大的 $\angle ACB$ 内作 $\angle BCD = \angle B$， $CD$ 交 $AB$ 于 $D$。

$\therefore$ \quad $BD = DC$ （等角对等边）。

在 $\triangle ADC$ 中，

\qquad $AD + DC > AC$  （三角形两边的和大于第三边），

$\therefore$ \quad $AD + BD > AC$ （等量代换）。

即 \quad $AB > AC$。



\begin{lianxi}

\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xxt[\xxtsep]{如图甲，已知 $\angle A = 36^\circ$， $\angle DBC = 36^\circ$，
        $\angle C = 72^\circ$。计算 $\angle 1$ 和 $\angle 2$ 的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。
    }

    \xxt{如图乙，$CD$ 是等腰直角三角形斜边上的高。找出图中的等腰直角三角形。}

\end{xiaoxiaotis}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-subsec9-lx-01-a}
        \caption*{甲}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-subsec9-lx-01-b}
        \caption*{乙}
    \end{minipage}
    \caption*{（第 1 题）}
\end{figure}


\xiaoti{（口答）在 $\triangle ABC$ 中， $\angle A = 70^\circ$， $\angle B = 50^\circ$。比较三边的大小。}

\xiaoti{（口答）直角三角形的斜边大于直角边，即斜线段大于垂线段。为什么？}

\xiaoti{（口答）在 $\triangle ABC$ 中，如果 $AB$ 最大，那么 $\angle A$、 $\angle B$ 一定是锐角。为什么？}

\end{lianxi}


